Análise Combinatória

1. Princípio Fundamental da Contagem

PARTE I - Resolva os seguintes problemas:

          - Para o Campeonato Mineiro, o time do Cruzeiro dispõe de dois modelos de camisa e três de calção, para se diferenciar do time adversário. Com essas camisas e calções, de quantos uniformes distintos o Cruzeiro dispõe?

          - Na “Copa do Brasil”, exige-se que, além de camisa e calção sejam distintos, também as meias o sejam. Sendo assim, para participar da Copa do Brasil o Cruzeiro teve de providenciar duas cores distintas de meias. Qual será, portanto, o número de uniformes diferentes que o Cruzeiro disporá para esta copa?

          Uma forma de visualizarmos o que ocorre nos exemplos acima é usando o diagrama de árvore, que é montado como no exemplo abaixo:

          Para chegarmos ao 2º andar do Coltec, vindos de fora do prédio, podemos escolher entre duas portas de entrada e quatro escadas de acesso. De quantas formas distintas podemos chegar?

p1 e1; p1e2; p1e3; p1e4

p2e1; p2e2; p2e3; p2e4

          Complete o diagrama acima para chegarmos ao terceiro andar, sabendo-se que existem duas escadas de acesso do 2º para o 3º andar.

          Sendo os conjuntos A={a₁, a₂, a₃, .......,a_m} e B={b₁, b₂, b₃, .........., b_n}, deterine quantos elementos tem A e quantos elementos tem B. Quantos são os pares ordenados, do tipo (a_i, b_j) onde a_iÎA e b_jÎB, que podemos formar com os elementos destes conjuntos?

PARTE II - Na final dos 100 metros rasos da Olimpíada de 96, oito atletas disputavam as três primeiras posições para obter uma medalha. De quantas maneiras diferentes era possível se organizar o podium com os três primeiros colocados?

          Sendo o conjunto A={a₁, a₂, a₃,.......,a_m}, quantos serão os pares ordenados, do tipo (a_i, a_j) onde a_i , a_jÎA que poderemos formar com os elementos deste conjunto? E se ?

PARTE III - O almoxarifado de uma empresa adotou um código para classificar os produtos em estoque. O código é formado por uma letra do nosso alfabeto e três algarismos, sendo que o primeiro algarismo tem de ser par. Quantos são os diferentes códigos que eles poderão dispor? E se não for permitida a repetição?

ENUNCIADO DO PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

          Se um evento pode ocorrer de n₁ maneiras distintas e, a seguir, um segundo evento pode ocorrer de n₂ maneiras distintas, e assim sucessivamente, até um k-ésimo evento que pode ocorrer de n_k maneiras distintas, então o número de maneiras distintas em que os k eventos podem ocorrer sucessivamente é n₁.n₂.....n_k.

2.  PERMUTAÇÃO

          - Com um grupo de cinco alunos, de quantas maneiras distintas posso fazer uma fila com três alunos? Com quatro? E com cinco?

          - Sendo o conjunto A={a₁, a₂, a₃,.......,a_n}, quantas sequências distintas poderemos fazer com todos os seus elementos?

          Chamaremos de Permutação a todos agrupamentos de n elementos formados com os n elementos de um conjunto. O número de permutações será calculado como na questão acima, ou seja,

P_n = n.(n-1).(n-2).....3.2.1

1. ARRANJO

Resolva os problemas abaixo:

          - Em uma corrida com 12 participantes, de quantas maneiras distintas podemos ter as três primeiras colocações? E com n participantes?

          - Com n participantes de quantas maneiras poderíamos ter os quatro primeiros colocados? Os cinco primeiros colocados? Ou os p primeiros colocados?

          - A partir do resultado obtido no segundo problema obtenha uma expressão que represente de forma simplificada este problema.

     Chamaremos a partir de agora de Arranjo a todos agrupamentos de p elementos formados com os n elementos de um conjunto A, ou seja, serão arranjos de n, p a p. Determinamos o número de arranjos possíveis, através da expressão simplificada obtida acima.

 1. COMBINAÇÃO

     Resolva os problemas abaixo:

-       Em uma turma temos 4 alunos, de quantas maneiras distintas podemos obter grupos de dois alunos? Descreva esses grupos.

-       E se dividíssemos em grupos de 3 alunos? Descreva esses grupos.

           - Se a turma tiver 12 alunos quantos grupos de 3 alunos podemos formar? Quantos grupos de 4 alunos? E quantos grupos de 8 alunos?

             - Se a turma tiver n alunos quantos grupos de 3 alunos podemos formar? Quantos grupos de 4 alunos? E quantos grupos de r alunos?

          - A partir do resultado obtido no problema acima obtenha uma expressão que represente o caso de p alunos na turma e r no grupo.

     Chamaremos de Combinação a todos os agrupamentos com p elementos, onde a ordem dos elementos não importa, ou seja serão combinação de n elementos, p a p.

VII - Resolva as questões abaixo:

          - De quantas formas 3 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular? E se forem 4 pessoas? E se forem 5 pessoas?

          - Determine agora de quantas formas n pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular?

          Chamamos de Permutação Circular a disposição dos elementos de um conjunto ao redor de um circulo. Para determinarmos o número de disposições possíveis utilizamos a expressão determinada no exemplo acima: PCn = ( n - 1 )!

VIII - Resolva as questões abaixo:

- Quantos são os anagramas do nome ANA?

- Quantos são os anagramas das palavras NADA e VATAPA?

- Quantos são os anagramas das palavras ARARA e COLTECANO?

- Sendo o conjunto A={ a₁, a₁,...,a₁, a₂, a₃, a_4,...,a_n-n1. }, quantas são as sequências de n elementos em que o elemento a₁ aparece exatamente  vezes?

          Chamamos de Permutação com repetição a permutação de n elementos, onde temos n₁ elementos iguais a a₁, n₂ elementos iguais a a₂, ..., n_k elementos iguais a a_k, de modo que n₁+ n₂+    +n_k=n e a_i¹a_j se i¹j. Esta permutação será determinada pela expressão:

Para fixar o conteúdo: http://www.carlosbezerra.com/lista02.pdf